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高中数学新教材人教A版必修一 二次函数与幂函数 课件(43张)

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1.幂函数 (1)定义:形如____y_=__x_α_(_α_∈__R_)______的函数称为幂函数,其中 底数 x 是自变量,α 为常数.常见的五类幂函数为 y=x,y=x2, y=x3,y=x21,y=x-1. (2)性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当 α>0 时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在 (0,+∞)上单调递增; ③当 α<0 时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单 调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=__a_x_2+__b_x_+__c_(_a_≠__0_)____; ②顶点式:f(x)=__a_(_x_-__m_)_2_+__n_(a_≠__0_)___; ③零点式:f(x)=_a_(_x_-__x_1)_(_x_-__x_2_)(_a_≠__0_)_. (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) 图象 解析式 定义域 值域 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) (-∞,+∞) (-∞,+∞) ????4ac4-a b2,+∞???? ????-∞,4ac4-a b2???? 单调性 在在???_-_???-_∞_2_b,a_,_-_+_2_b∞a_???_上???__单_上调单递调减; 在_???_-__∞__,__-__2b_a_??? ___上 单调递增; 递增 在???-2ba,+∞???上单调 递减 对称性 函数的图象关于 x=-2ba对称 常用知识拓展 1.二次函数图象对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x)定义域内的任意 x1,x2,都有 f(x1)= f(x2),那么函数 y=f(x)的图象关于 x=x1+2 x2对称. (2)对于二次函数 y=f(x)定义域内的所有 x,都有 f(a+x)= f(a-x)成立的充要条件是函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对 称(a 为常数). 2.巧记幂函数的图象 五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛 负双,大竖小横”,即 α>0(α≠1)时的图象是抛物线型(α>1 时 的图象是竖直抛物线型,0<α<1 时的图象是横卧抛物线型),α<0 时的图象是双曲线型. 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=2x13是幂函数.( ) (2)当 n>0 时,幂函数 y=xn 在(0,+∞)上是增函数.( ) (3)二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.( ) (4) 二 次 函 数 y = ax2 + bx + c(x∈[a , b]) 的 最 值 一 定 是 4ac-b2 4a .( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× 若幂函数 f(x)=xk 在(0,+∞)上是减函数,则 k 可能是( ) A.1 B.2 C.12 D.-1 解析:选 D.由幂函数 f(x)=xk 在(0,+∞)上是减函数及 A,B, C,D 选项知 D 符合.故选 D. 已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x 轴上方,则 a 的取值 范围是( ) A.???0,210 ??? C.???210,+∞ ??? B.???-∞,-210 ??? D.???-210,0 ??? 解析:选 C.由题意知?????aΔ><00,,即?????a1> -02, 0a<0,得 a>210. (教材*题改编)幂函数 y=f(x)经过点(2, 2),则 f(9)= ________. 解析:设 f(x)=xα,由题意得 2=2α,所以 α=12. 所以 f(x)=x21,所以 f(9)=921=3. 答案:3 ( 教 材 * 题 改 编 ) 函 数 g(x) = x2 - 2x(x∈[0 , 3]) 的 值 域 是 ________. 解析:由 g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],得 g(x)在[0,1]上是减函数,在[1,3]上是增函数. 所以 g(x)min=g(1)=-1,而 g(0)=0,g(3)=3. 所以 g(x)的值域为[-1,3]. 答案:[-1,3] 幂函数的图象及性质(典例迁移) (1)幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的 图象是( ) (2)已知幂函数 y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象与 x 轴、y 轴没有交点, 且关于 y 轴对称,则 m 的所有可能取值为( ) A.1 B.0,2 C.-1,1,3 D.0,1,2 【解析】 (1)设幂函数的解析式为 y=xα, 因为幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2), 所以 2=4α,解得 α=12, 所以 y= x,其定义域为[0,+∞),且是增函数, 当 0<x<1 时,其图象在直线 y=x 的上方.故选 C. (2)因为幂函数 y=xm2-2m-3 (m∈Z)的图象与 x 轴、y 轴没有交点, 且关于 y 轴对称,所以 m2-2m-3≤0 且 m2-2m-3(m∈Z)为 偶数.由 m2-2m-3≤0 得-1≤m≤3,又 m∈Z,所以 m= -1,0,1,2,3,当 m=-1 时,m2-2m-3=1+2-3=0 为 偶数,符合题意;当 m=0 时,m2-2m-3=-3 为奇数,不符 合题意;当 m=1 时,m2-2m-3=1-2-3=-4 为偶数,符 合题意;当 m=2 时,m2-2m-3=4-4-3=-3 为奇数,不 符合题意;当 m=3 时,m2-2m-3=9-6-3=0 为偶数,符 合题意.综上所述,m=-1,1,3,故选 C. 【答案】 (1)C (2)C [迁移探究 1] (变条件)若本例(2)中 ,将函数“f(x)=x ” m2-2m-3 变



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